"Históricamente hablando, las matemáticas y la lógica han
sido estudios completamente diferentes. La matemática ha estado siempre unida a
la ciencia, y a la lógica con los griegos. Pero ambas han evolucionado en los
tiempos modernos: la lógica se ha hecho más matemática y la matemática más
lógica. La consecuencia es que ahora es completamente imposible trazar una
línea divisoria entre las dos; ambas son, efectivamente, una sola cosa. Difieren
como un muchacho de un hombre: la lógica es la juventud de la matemática y la
matemática la plenitud de la lógica. Esta concepción molesta a los lógicos,
quienes, habiendo gastado su tiempo en el estudio de los textos clásicos se
encuentran incapaces de seguir un razonamiento simbólico, y a los matemáticos
que han aprendido una técnica sin acordarse de preguntar por su significado o
justificación. Afortunadamente, ambos tipos van haciéndose cada vez más raros.
Tan grande es la parte del trabajo matemático moderno que se lleva a cabo
evidentemente en la línea fronteriza de la lógica, y tan gran parte de la
lógica moderna se hace simbólica y formalmente, que el estrechísimo parentesco
entre matemática y lógica se ha hecho evidente para cualquier estudioso culto.
La prueba de su identidad es, desde luego, una cuestión de detalle: partiendo
de premisas que solía admitirse generalmente que pertenecían a la lógica y
llegando por deducción a resultados que, evidentemente, pertenecen a la
matemática, encontramos que no hay punto por donde pueda trazarse una línea
tajante que deje a la lógica a la izquierda y la matemática a la derecha. Si todavía hubiese quien no admitiese la identidad de una y otra, podríamos
invitarlo a indicar en qué punto de las sucesivas definiciones y deducciones de
los Principia Mathematica consideraba
que acaba la lógica y empezaba la matemática. Es evidente que cualquier
respuesta sería completamente arbitraria.
(…)
"Ciertas características del tema están claras. Para
empezar, no trataremos en este tema con objetos particulares ni con propiedades
particulares: trataremos formalmente de lo que puede decirse acerca de
cualquier cosa o de cualquier propiedad. Estaremos dispuestos a decir que uno y
uno son dos, pero no que Sócrates y Platón son dos, porque en nuestra actitud
de lógicos, o de matemáticos puros, no hemos oído nunca hablar de Sócrates ni
de Platón. Un mundo en el que no hubiera tales individuos continuaría siendo un
mundo en el que uno y uno serían dos. Como matemáticos o lógicos puros, no nos
queda la posibilidad demencionar cosa alguna, porque, si lo hacemos,
introducimos algo no formal y sin interés. Esto se puede aclarar aplicándolo al
caso del silogismo. La lógica tradicional dice: “Todos los hombres son
mortales; Sócrates es un hombre; luego Sócrates es mortal.” Ahora está claro
que lo que queremos afirmar, para empezar, es solamente que las premisas
implican la conclusión, no que las premisas y la conclusión sean realmente
cierta; incluso la lógica más tradicional señala que la verdad real de las
premisas carece de interés para la lógica. De este modo, el primer cambio que
habría que hacer en el silogismo tradicional anterior sería el de enunciarlo en
esta forma: “Si todos los hombres son mortales y Sócrates es un hombre,
entonces Sócrates es mortal”. Podemos observar ahora que lo que trata de
comunicar es que este argumento es válido en virtud de su forma, no en virtud
de los términos particulares que en él intervienen. SI hubiésemos omitido
“Sócrates es un hombre” en nuestra premisa, hubiéramos tenido una argumentación
no formal, sólo admisible por ser Sócrates, en realidad, un hombre; en tal
caso, no podríamos haber generalizado la argumentación. Pero cuando, como
antes, la argumentación es formal, nada depende de los términos que figuran en
ella. Podremos así sustituir hombres por a, b por mortales y x por Sócrates, donde a y b sean unas clases
cualesquiera y un individuo. Llegaríamos
entonces a la afirmación: “Sean cuales sean los valores que x, a y b puedan tener, si todos
los a son b y x es un a,
x será entonces un b”; con otras palabras, “la función
proposicional si todo a es b y x es un a, entonces x es un b es cierta siempre”. Aquí tenemos, finalmente, una
proposición de la lógica, la única que queda sólo sugerida por la clásica
afirmación sobre Sócrates, los hombres y los mortales.
Está claro que, si el razonamiento formal fuese como
pretendemos, siempre llegaríamos finalmente, a afirmaciones como la anterior,
en donde ninguna cosa ni propiedad real resultan mencionados; esto sucederá por
nuestro simple deseo de no gastar el tiempo probando en un caso particular lo
que puede probarse en general. Sería ridículo entretenernos en una larga
argumentación sobre Sócrates y repetir luego precisamente la misma
argumentación sobre Platón. Si nuestro argumento es, por ejemplo, de los que
valen para todos los hombres, lo probaremos referido a “x”, con la hipótesis de
que “si x es un hombre”. Con esta hipótesis, el argumento conservará su validez
hipotética, incluso aunque x no sea un hombre. Pero entonces vemos que nuestra
argumentación continúa siendo válida, si, en lugar de suponer que x sea un
hombre, suponemos que es un mono, un ganso o un primer ministro. Por
consiguiente, no necesitaremos perder el tiempo tomando como premisa “x es un
hombre”, sino que tomaremos “x es un a”,
donde a será una clase cualquiera de individuos, o “fa”, donde f sea cualquier
función proposicional de algún tipo asignado. Así, la ausencia de toda mención
de objetos o propiedades particulares en la lógica o en la matemática pura es
un resultado necesario del hecho de que su estudio es, como decimos, “puramente
formal” (...)"
Bertrand Russell
Bertrand Russell
Introduction to Mathematical Philosophy, Londres: Allen & Unwin; Nueva York; The Macmillan Coo., 1919.
