JOHN VENN

John Venn fue uno de los matemáticos y lógicos más destacados del siglo XIX. John Venn es el responsable de los populares diagramas utilizados en la teoría matemática de conjuntos, los cuales suelen usarse para representar gráficamente las relaciones entre agrupaciones de elementos y que simplificaron significativamente el entendimientos de la lógica inductiva. 

Sobre el papel, estas ilustraciones no solo permiten comprender cuál es la relación entre los elementos de diferentes conjuntos; también comprobar la verdad o falsedad de ciertas premisas. 

Venn nació en la ciudad inglesa de Kingston upon Hull, el 4 de agosto del año 1834. Fue educado en el seno de una familia evangélica, cuestión que influirá muchísimo sus primeros años de vida, incluso llevándolo a convertirse en religioso. Aunque en 1859 llegó a ordenarse como sacerdote, la vida de John Venn siempre estuvo ligada a las ciencias. Al considerar incompatible el anglicanismo con sus creencias filosóficas decidió abandonar la religión.

Para el año 1862 ya integraba las listas de profesores de Cambridge, en las materias de ciencias morales y de filosofía y lógica.

Hacia finales del siglo XIX fue integrado como miembro de la prestigiosa Real Sociedad de Londres, una de las asociaciones científicas más destacadas del mundo entero.

El área de mayor interés para John Venn fue sin duda la de la lógica. De ahí que todas sus obras versasen sobre esa materia. Su primera publicación salió a la luz en 1866 bajo el nombre de La lógica del azar y con ella introdujo la teoría de frecuencia de la probabilidad.

Su gran aporte fueron los Diagramas de Venn, unos esquemas que presentó por primera vez en 1880 en la obra De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos, con la intención de desarrollar una manera mecánica de representar y analizar razonamientos, un método que, en realidad, podría ser emulado por una máquina. Lo que hizo el británico fue, básicamente, simplificar el análisis de los silogismos.

Pese a que previamente Gottfried Wilhelm von Leibniz y Leonhard Euler había utilizado esquemas similares, a John Venn lo consideraron más descriptivo y fácil de entender. Él también ayudó a desarrollar el sistema de George Boole de la lógica matemática.

John Venn pasó sus últimos días estudiando la historia del colegio en el que se formó, la de la Universidad de Cambridge y la de su propia familia. En una de las vidrieras del Colegio de Gonville y Gaius puede verse un diagrama de Venn en conmemoración a su creador. John Venn falleció en 1923, a la edad de 88 años el 4 de abril.

Con motivo del 180 aniversario de su nacimiento, Google presentó un doodle interactivo el cual, aunque se toma algunas libertades creativas, ilustra el momento en que dos conjuntos se interseccionan al tener un elemento que comparte características de ambos grupos.

Para quien esté interesado, aquí está el link para utilizar a gusto este doodle.

GEORGE BOOLE

George Boole, nacido en Lincoln, Reino Unido en 1815 y muerto en Ballintemple, actual Irlanda, en 1864, fue un matemático británico, creador de un nuevo sistema de cálculo lógico que póstumamente sería llamado Álgebra de Boole. Dicho sistema fue un avance fundamental y significativo en el desarrollo de la lógica y que habría de aplicarse en informática y los microprocesadores. 

George Boole quería ser monje pero tuvo que dejar esa ida al verse obligado a mantener a sus padres los cuales habían venido a menos a lo largo delos años. 

A los dieciséis años enseñaba matemáticas en un colegio privado y más tarde fundó uno propio. A los veinticuatro años, tras la publicación de su primer escrito, pudo ingresar en Cambridge, pero hubo de declinar la oferta a causa de sus deberes respecto a su familia. En 1849 fue nombrado profesor de matemáticas del Queen's College, en Cork, donde permaneció el resto de su vida.

Prácticamente autodidacta, George Boole se interesó sobre todo por el análisis matemático, y muy pronto alcanzó gran notoriedad gracias a sus brillantes aportaciones y artículos referidos a este tema. En esa dirección debe destacarse su obra Análisis matemático de la lógica (1847), que contiene sus primeras observaciones sobre los vínculos entre la lógica y las matemáticas y que muchos consideran como el acta de nacimiento de la lógica matemática.

El gran descubrimiento de Boole fue aplicar una serie de símbolos a elementos y operaciones lógicas y hacer que estos símbolos y operaciones tuvieran la misma estructura lógica que el álgebra convencional.

El álgebra de Boole es un sistema mediante el cual ciertos razonamientos lógicos pueden expresarse en términos matemáticos. Los elementos del álgebra de Boole son un conjunto de proposiciones, es decir, de hechos expresados mediante oraciones del lenguaje natural. Tales proposiciones tienen como propiedad ser verdaderas o falsas. Al mismo tiempo, y prescindiendo de si son verdaderas o falsas, cada proposición tiene lo que se llama su proposición complementaria, que no es sino la negación de la misma: la negación de la proposición P es la proposición complementaria no P.

Las consecuencias de estas proposiciones pueden descubrirse realizando operaciones matemáticas sobre los símbolos que las representan. Las dos operaciones básicas son la conjunción y la disyunción. Su sentido es fácil de comprender si se piensa en las dos partículas gramaticales correspondientes, la conjunción copulativa "y" (con idea de adición o suma) y la conjunción disyuntiva "o" (con idea de exclusión). 

Como ejemplo simple, consideremos las dos proposiciones siguientes: "comeré pollo" y "comeré res". Representamos la primera proposición con el símbolo P y la segunda con el símbolo Q. Las dos proposiciones pueden combinarse en una de dos formas: por un lado, P o Q (comeré pollo o comeré res), y, por otro P y Q (comeré pollo y comeré res).


Las reglas del álgebra de Boole pueden utilizarse para determinar las consecuencias de las diversas combinaciones de estas proposiciones en función de si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). Así, si ambas proposiciones son verdaderas, la combinación P y Q es también verdadera. Es decir, si la proposición "comeré pollo" (P) es verdadera, y la proposición "comeré res" (Q) también es verdadera, entonces la combinación "comeré pollo y comeré res" (P y Q) también debe ser verdadera.

El sistema matemático binario es el sistema numérico más utilizado en las computadoras. Los sistemas computarizados consisten en núcleos magnéticos que pueden ponerse en marcha o detenerse; los números 0 y 1 se usan para representar los dos estados posibles de un núcleo magnético. Las operaciones que los microprocesadores pueden llevar a cabo con la información binaria son muy simples (negación, conjunción y disyunción siguiendo el álgebra de Boole, y también comparaciones y las cuatro operaciones aritméticas), pero la combinación de todas estas operaciones a grandísima velocidad permite ejecutar tareas muy complejas. De este modo, los procedimientos de cálculo lógico del álgebra de Boole han pasado a constituir la "inteligencia" de multitud de objetos cotidianos: cuando los ingenieros diseñan los circuitos para las computadoras personales, calculadoras de bolsillo, lectores de discos compactos, teléfonos celulares y una gran cantidad de otros tipos de productos electrónicos, no hacen sino capacitarlos para ejecutar operaciones y procesos basados en los principios del álgebra de Boole.

Para conmemorar el 200 aniversario del nacimiento George Boole, Google le dedicó un doodle que apareció en el buscador el 2 de noviembre del 2015.

La letra G corresponde a la conjunción X y Y, por eso, cuando está "encendida" en la segunda G aparecen tanto la X como la Y. Lo mismo sucede con la segunda O (la amarilla) la cual corresponde a X o Y. Como se encienden la G y la O entonces aparecen la X y la Y pues quiere decir que las dos opciones son válidas. En la primera O (la roja) aparece el operador lógico XOR que corresponde a la disyunción exclusiva (o X o Y) esto nos dice que sólo puede estar la X o la Y en los círculos negros pero no las dos. Por tal motivo, cuando se encienden las otras letras se precisa que letra será la que aparecerá en los círculos negros (cuando la L que corresponde a NO Y se enciende la que aparece es la X y cuando se enciende la E final que corresponde a NO X es la Y la que termina por aparecer). Cuando las dos letras finales se encienden (la NO X y la NO Y) no aparece nada en los círculos negros.

LOS PRINCIPIA MATHEMATICA

Los Principia Mathematica de Bertrand Russell y Alfred North Whitehead (1961 – 1947) fueron publicados entre 1910 y 1913. La obra defendía la tesis de que las matemáticas son un sistema que puede ser derivado en su totalidad de un pequeño número de principios, postulados o axiomas básicos, tesis que contradecía la de Immanuel Kant (1724 - 1804), uno de los filósofos más en boga en aquel momento, quien diferenciaba las matemáticas de la lógica.

Según Kant, las matemáticas pertenecerían al ámbito de la estética trascendental, es decir, estarían integradas por juicios sintéticos a priori (nociones que no necesitan ser contrastadas por la experiencia, pero están en contacto con ella),mientras que la lógica (subdividida en dos partes, la analítica trascendental y la dialéctica trascendental) sería un pensamiento puro, identificado con las reglas que gobiernan el entendimiento y ordenan según categorías las impresiones aportadas por la sensibilidad.

Por el contrario la obra de Russell y Whitehead separaba las matemáticas de la experiencia sensible y mostraba su dependencia de los principios de las matemáticas de la experiencia sensible y mostraba su dependencia de los principios de la lógica formal: las proposiciones matemáticas fueron presentadas en términos puramente lógicos, definidas como implicaciones formales entre funciones proposicionales, y todo teorema matemático, se decía, podía ser derivado de axiomas lógicos.

Los Principia Mathematica pusieron de actualidad otro ensayo que había servido de inspiración a sus autores y cuya importancia había pasado desapercibida cuando se publicó en 1893: Las leyes fundamentales de la aritmética, del alemán Gottlob Frege, quien había sentado el principio de que  la matemática es un saber analítico – es decir, basado en principios puramente lógicos – y había definido el número a partir del concepto de “clase”, como grupo de elementos reales. De este modo, Frege había rechazado teorías anteriores que entendían el número como una propiedad de las cosas.

Russell demostró que la definición de Frege conducía a una contradicción y la expuso mediante la paradoja que lleva su nombre (la Paradoja de Russell), basada en el principio del círculo vicioso (no se puede definir un concepto utilizando una totalidad que lo presuponga) y en una ontología dividida en cosas (seres humanos, montañas, etc.), conjuntos (razas, cordilleras) y conjunto de conjuntos (la humanidad, el relieve). Al combinar esta división, jerarquizada en su complejidad, con el principio del círculo vicioso, se concluye que una cosa solo puede pertenecer a un conjunto si previamente forma parte de u grupo de jerarquía inferior. No obstante, Russell fue incapaz de hallar la solución al problema de los fundamentos del razonamiento, por lo que manifestó: “recomiendo seriamente su estudio a todos los estudiantes de lógica”.

Henar Lanza González. Wittgenstein. RBA (Colección Aprender a pensar). España, 2015. (páginas 38 y 39)

TAREA VIRTUAL 2 (PARA LA PRÓXIMA CLASE)

La tarea virtual consiste en lo siguiente: Las tres imágenes que aparecen en esta entrada se imprimirán y se pegarán en el cuaderno (no importa que las imágenes sean en blanco y negro y sean pequeñas, siempre y cuando sean legibles). A cada imagen se le anotará lo que se le pide.

Tomando en consideración lo que se ha visto en clase acerca de la Filosofía (págs. 19 a 28) explica con tus palabras lo que se quiere expresar en el meme anterior.

La Lógica debe permitirnos argumentar a favor o en contra de un determinado tema. En el caso de la infografía anterior se habla sobre el hecho de que las mujeres no pueden andar con el pecho desnudo en la playa y los hombres sí. ¿Qué argumentos se expresan en la infografía y qué piensas al respecto?

En esta tercera imagen se habla de la posibilidad de crear máquinas que pudieran interpretar emociones. ¿Por qué Sheldon supone que una máquina así podría ayudarle a ser un amigo más considerado? ¿Qué piensas del segundo uso que podría dársele para atacar a los enemigos? ¿Qué se puede concluir acerca de la tecnología? ¿Las máquinas son buenas o malas o eso depende del uso que se les dé?

LIBRO DE LÓGICA

Como comenté, subo el archivo original del engargolado de la asignatura con la finalidad de que aquellos que decidan imprimirlo o si deciden tenerlo en su celular para consultarlo en algún momento lo hagan sin ningún problema.

A descargar

INVERTEBRADOS Y GENERALIZACIONES

En clase hemos visto el tema de la generalización. Recordemos que generalizar significa que a todos los miembros de un determinado grupo les afirmamos o negamos algo. Así, por ejemplo, "todos los invertebrados carecen de columna vertebral" es una generalización, pues lo que decimos ("que carecen de columna vertebral") corresponde a todos los miembros de un cierto grupo ("los invertebrados").

Mencionamos que realizar generalizaciones es una de las finalidades de las ciencias. La zoología no es la excepción y, mencionamos en clase, el ejemplo de la clasificación que se hace de los animales, sobre todo de los invertebrados.

En el video que se les pasó (y que aquí les vuelvo a presentar) los distintos grupos de invertebrados conforman subgrupos con características propias de manera tal que se pueden forman una serie de generalizaciones sin ningún problema. Por ejemplo: Todos los artrópodos tienen patas, todos los insectos tienen seis patas, todos los bivalvos tienen dos conchas, etc.

ARQUÍMEDES

Dejo aquí esta biografía de Arquímedes para quien esté interesado.